Colloque intitulé

« Problèmes spectraux non-linéaires et modèles de champs moyens »

du 4 au 8 avril 2005 à l’Institut Henri Poincaré à Paris.

 

Ce colloque a pour objectif de présenter différents aspects de l'étude des modèles de champs moyens et des problèmes spectraux non-linéaires auxquels ils conduisent. Les applications principales qui seront évoquées sont celles liées à l'étude des dispositifs électroniques quantiques et les condensats de Bose-Einstein.

Sur ces problèmes des physiciens, des numériciens et des mathématiciens travaillent depuis de nombreuses années avec des points de vue variés mais avec un objectif commun : pouvoir calculer ou prédire de façon de plus en plus précise les phénomènes dans des situations complexes. Les modèles conduisent à des problèmes semi-linéaires dont la présentation et les premiers résultats exhibent un couplage fort entre des quantités spectrales fines et les aspects non-linéaires.

 

Les problèmes qui se posent sont de différentes natures. On peut noter :

 

1)      Diagrammes de bifurcation pour les problèmes stationnaires et analyse de stabilité (et peut-être à l'avenir contrôlabilité).

 

2)     Modélisation de systèmes quantiques hors-équilibre, voire loin de l'équilibre. Dans le cas des dispositifs électroniques, il s'agit de prendre en compte des situations avec courant, en régime stationnaire ou transitoire. Cela impose d'utiliser des outils de théorie du scattering.

 

3)     Dérivation de modèles réduits, conduisant à des résolutions numériques quasi-explicites ou de faible complexité. La justification de ces modèles réduits repose sur des approximations adiabatiques et/ou l'étude des résonances.

 

4)     Problèmes spectraux non auto-adjoints.

 

5)     Gestion des exponejtielne}ent petits et analyse précise de l'effet tunnel. Que ce soit en présence de résonances ou de phénomènes de battement comme dans les doubles puits, des variations exponentiellement petites sur les quantités spectrales peuvent avoir une forte incidence sur le comportement macroscopique des systèmes non linéaires.

 

6)     Développement de méthodes numériques efficaces pour envisager l'étude de situations complexes.

 

7)     Hiérarchie et raccord des modèles.

 

8)     Pertinence des approximations de champs moyens.

 

Les différents groupes de chercheurs, physiciens, mathématiciens et mathématiciens appliqués, très certainement, imparfaitement représentés dans ce colloque, qui se sont intéressés à ce genre de problèmes ont fait certaines avancées. Il semble temps de confronter les différents points de vue et d'en dresser un panorama. Un certain nombre de jeunes chercheurs interviendront dans ce colloque et on espère que ce sera pour eux l'occasion de continuer ou de s'orienter vers cette thématique riche de développements à venir, tant sur le plan théorique qu'au niveau des applications.